مثير للإعجاب

كيف تثبت قوانين دي مورغان

كيف تثبت قوانين دي مورغان



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

في الإحصاء الرياضي والاحتمال ، من المهم أن تكون على دراية بنظرية المجموعة. العمليات الأولية لنظرية المجموعة لها صلات مع قواعد معينة في حساب الاحتمالات. يتم شرح تفاعلات هذه العمليات الأولية للوحدة والتقاطع والتكميل من خلال بيانين يعرفان باسم قوانين دي مورغان. بعد ذكر هذه القوانين ، سوف نرى كيفية إثباتها.

بيان قوانين دي مورغان

تتعلق قوانين دي مورغان بتفاعل الاتحاد والتقاطع والتكامل. أذكر ما يلي:

  • تقاطع المجموعات ا و ب يتكون من جميع العناصر المشتركة بين الاثنين ا و ب. يشار إلى تقاطع اب.
  • اتحاد المجموعات ا و ب يتكون من جميع العناصر التي في أي منهما ا أو ب، بما في ذلك العناصر في كلا المجموعتين. يُشار إلى التقاطع بواسطة A U B.
  • تكملة للمجموعة ا يتكون من جميع العناصر التي ليست عناصر ا. يشار إلى هذا تكملة أC.

الآن وقد استذكرنا هذه العمليات الأولية ، سنرى بيان قوانين دي مورغان. لكل زوج من مجموعات ا و ب

  1. (ا ∩ ب)C = اC U بC.
  2. (ا U ب)C = اC ∩ بC.

الخطوط العريضة لاستراتيجية الدليل

قبل القفز إلى الدليل سوف نفكر في كيفية إثبات البيانات أعلاه. نحن نحاول إثبات أن مجموعتين متساويتان. الطريقة التي يتم بها ذلك في دليل رياضي هي بواسطة إجراء التضمين المزدوج. الخطوط العريضة لهذه الطريقة هي:

  1. أظهر أن المجموعة على الجانب الأيسر من علامة المساواة لدينا هي مجموعة فرعية من المجموعة على اليمين.
  2. كرر العملية في الاتجاه المعاكس ، مع توضيح أن المجموعة على اليمين هي مجموعة فرعية من المجموعة على اليسار.
  3. هاتان الخطوتان تسمحان لنا أن نقول إن المجموعات تساوي في الواقع بعضها البعض. وهي تتألف من جميع العناصر نفسها.

إثبات أحد القوانين

سوف نرى كيفية إثبات أول قوانين De Morgan أعلاه. نبدأ بإظهار ذلك (ا ∩ ب)C هي مجموعة فرعية من اC U بC.

  1. لنفترض أولاً ذلك س هو عنصر من (ا ∩ ب)C.
  2. هذا يعني ذاك س ليس عنصرا في (ا ∩ ب).
  3. منذ التقاطع هو مجموعة من جميع العناصر المشتركة لكليهما ا و ب، الخطوة السابقة تعني ذلك س لا يمكن أن يكون عنصرا في كليهما ا و ب.
  4. هذا يعني ذاك س يجب أن يكون عنصرًا واحدًا على الأقل من المجموعات اC أو بC.
  5. بحكم التعريف هذا يعني ذلك س هو عنصر من اC U بC
  6. لقد أظهرنا إدراج مجموعة فرعية المطلوب.

دليلنا هو الآن في منتصف الطريق. لإكماله ، نعرض التضمين الفرعي المقابل. بشكل أكثر تحديدا يجب أن نظهر اC U بC هي مجموعة فرعية من (ا ∩ ب)C.

  1. نبدأ مع عنصر س في المجموعة اC U بC.
  2. هذا يعني ذاك س هو عنصر من اC أو ذلك س هو عنصر من بC.
  3. وهكذا س ليس عنصرًا واحدًا على الأقل من المجموعات ا أو ب.
  4. وبالتالي س لا يمكن أن يكون عنصرا في كليهما ا و ب. هذا يعني ذاك س هو عنصر من (ا ∩ ب)C.
  5. لقد أظهرنا إدراج مجموعة فرعية المطلوب.

دليل على القانون الآخر

يشبه دليل البيان الآخر الدليل الذي أوضحنا أعلاه. كل ما يجب القيام به هو إظهار مجموعة فرعية من المجموعات على جانبي علامة المساواة.


Video, Sitemap-Video, Sitemap-Videos